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电力系统论文:关于临界故障切除时间概率分布的解决办法

时间:2012-01-13 13:23来源:工程硕士论文代写 作者:工程硕士论文代写 点击:
稳定性分析是电力系统运行与控制中必须考虑的一个以及半不变量的性质,在敏感度计算的基础上,将临界故障最基本的问题。传统稳定分析是在确定系统初始参数后进行的。由于某些

 

ABSTRACT:Stability analysis is a fundamental problem inpower system operation and control. The traditional stabilityanalysis methods are based on the determinate initial parameter ofpower system. Because of some reasons, the determinate value ofinitial parameter of power system, such as load, cannot be decided,and only their probability distribution can often be gotten. So thetraditional stability analysis methods cannot be applied to the newcondition. This paper proposed a new method to compute theprobability distribution of fault critical clearing time. This methoduses Gram-Charlier expansion of random variable and theproperty of cumulant, and on the basis of sensitivity computation,changes the computation of probability distribution of faultcritical clearing time to the computation of the cumulant of initialparameters. This method was tested in 39-machine system.Compared with the Monte-Carlo simulation, the new methoddoes not need a large mount of simulations as statistical samplings,but only need once simulation when computing the sensitivity ofthe fault critical clearing time; The computation results shows thatthe method can accurately approximate the cumulativedistribution function of fault critical clearing time, and reducescomputational burden and improves the speed of computation.Using this method, the probability of fault critical clearing timedistributing in an interval closed to the expectation value can bedetermined, and it can act as an implement for stability analysis.
KEY WORDS : Power system; Probabilistic stability;Gram-Charlier expansion, cumulant; Critical clearing time
摘要:稳定性分析是电力系统运行与控制中必须考虑的一个以及半不变量的性质,在敏感度计算的基础上,将临界故障最基本的问题。传统稳定分析是在确定系统初始参数后进行的。由于某些原因,电力系统的初始参数,如母线负荷等,因得不到其确定值而只能知道其可能分布。这使得传统的稳定分析方法已不能适用于新的形势,为此提出了概率稳定分析这一新的课题。该文提出一种新的临界故障切除时间概率分布的求取方法,利用随机变量的 Cram-Charlier 级数展开式切除时间概率分布的求取转化为对初始参数的半不变量的求取。该算法在 39 机系统中进行了测试,与 Monte-Carlo 仿真结果相比,该算法不需要反复进行大量的数值仿真的采样计算,而只需在确定临界故障切除时间的灵敏度时进行一次数值仿真;计算结果能很好地描述临界故障切除时间的实际概率分布,且能显著地减少计算量,提高计算速度。利用该方法,可根据故障后临界故障切除时间的概率分布,确定临界故障切除时间分布在期望值附近某区间内的概率,为稳定分析提供了判断的依据。
关键词:电力系统;概率稳定,Cram-Charlier 级数,半不变量,临界故障切除时间
1 引言
稳定性是电力系统规划、设计、运行与控制中都必须考虑的基本问题。传统的稳定性分析都是在系统的元件参数、运行条件及干扰方式已给定的情况下进行的,属于确定性的稳定性分析。然而,电力系统中的一些参数由于测量、估计或计算上的误差而具有一定的随机性,干扰方式的随机性则更强。要对所有可能出现的情况都进行稳定性分析需要花费巨大的计算量,传统的办法是在少数几种给定的条件下进行稳定性分析[1],这又难以提供有关系统稳定性足够全面的信息。因而,人们自然就提出了电力系统的概率稳定分析问题,即根据系统中影响稳定的主要随机因素的统计特性来确定电力系统的概率稳定性指标。概率稳定性分析是对传统的确定型稳定性分析的重要补充[2,3]。在实际电力系统中,由于各种不可预测的因素以及预测本身的不确定性,各种参数要实现精确估计是比较困难的。但往往可以确定参数一个分布范围,并确定其分布的概率,这样,电力系统的一些计算和分析可以在此基础上进行,其结果也呈现一定的概率特性[2]。文[3]考虑了重合闸时间的随机性,建立了一种重合闸时间的随机模型,并从条件概率的角度进行概率稳定分析。文[4]考虑了故障切除时间的随机性,把故障切除时间作为一个概率变量,采用一种二分法进行临界切除时间的计算。本文在母线负荷预测的基础上,根据负荷预测得到各母线负荷的一个概率分布,并在此基础上,计算故障临界切除时间的概率分布,在稳定分析和断路器切除时间的选择上能起到辅助决策的作用。本文提出一种利用 Gram-Charlier 级数展开式求解临界故障切除时间概率分布的方法。在电力系统的概率稳定分析中,考虑各母线负荷为概率变量时,则故障临界切除时间也是一个概率变量。该方法通过计算各概率变量的中心矩及半不变量,根据半不变量的性质,在敏感度计算的基础上,利用 Gram-Charlier级数展开方法求解故障临界切除时间的概率分布。与Monte-Carlo 仿真相比,该方法能显著地提高计算速度,是一种很好的概率稳定分析方法。该方法在 39机系统中进行了测试,并与Monte-Carlo 仿真结果进行了比较,取得了很好的效果。2 Gram-Charlier 级数对于任意一个随机变量ξ ,假设其期望值为m ,标准方差为σ ,则其规格化随机变量ξ 为[5]ξ = (ξ  m)/σ(1)设 f (x)和 F (x)分别为规格化随机变量ξ 的概率分布函数和概率密度函数,且有 F ( x)= f′(x),根据Gram-Charlier 级数展开式理论, f (x)和 F (x)具有如下的形式[6]:()= ()+(/1!)′()+(/2!)′′()+12F xΦxcΦxcΦx(/3!)()+L+(3)3c Φ x(2)()= ()+(/1!)′()+(/2!)′′()+12f xφxcφxcφx(/3!)()+L+(3)3c φ x(3)式中 Φ (x)和 φ (x)分别是期望值为0,标准方差为1的标准正态分布变量的概率分布函数和密度函数。为了保证计算精度,本文取前7阶级数进行计算;系数kc 的定义为∫∞ ∞c=  Hxfxxkkk( 1)()()dk =1, 2,3,L,(4)式中 H(x)k是k 阶 Hermite多项式。前 8 项 Hermite多项式为[6]()10H x=; H (x)=x1; ()122H x= x ;()=3H xx 3x3  ; ()63424H x= x x+;= 55H ( x)x+310x 15x ;()1545156426H x= x x+x ;H (x)x21x105x105x7537=  + ;
3 临界故障切除时间的概率计算方法在电力系统中,由于母线负荷预测的不确定性,无法确定在某一时刻确切的母线负荷的大小,通常只能给出一个范围或遵循某种分布特性。传统确定性稳定分析不能考虑到这些负荷的不确定性因素,为此,概率稳定分析方法的发展很有现实意义。Gram-Charlier 级数展开式是计算随机变量概率分布的一个重要定理,在很多概率问题求解中得到应用[7~9]。在概率暂态稳定分析中,考虑母线负荷为随机变量时,则在故障后系统中,系统的临界故障切除时间也将是一个随机变量,其概率分布与母线负荷的概率分布相关。根据 Gram-Charlier 级数展开定理,随机变量临界故障清除时间crt 的规格化随机变量crt 的分布函数 F (x)和密度函数 f (x)可以写成如式(2) 和 式 (3) 的 形 式 。 此 时 , 只 需 确 定 系 数kc( k =1, 2,L,7),根据式(2)和式(3),即可计算出随机变量临界故障切除时间的概率分布。根据式(4),可以计算出系数kc 的表达式。kc 可以表示为随机变量crt 的各阶中心矩ku 的函数,即(,,,)kk1 12kc = fuuLu(5)而随机变量的各阶中心矩ku 则是各阶半不变量kg的函数,即(,,,)kk2 12ku = fggLg(6)中心矩和半不变量都是随机变量的数字特征。系数kc 与各阶中心矩ku 和各阶半不变量kg 之间的关系见文[5]。将式(6)代入式(5),系数kc 可以表示为各阶半不变量vg 的函数,即(,,,)kk1 2kc = fggLg(7)故要计算出系数kc ,只需计算随机变量crt 的各阶半不变量kg 。随机变量的半不变量具有 2 个重要的性质,而这是随机变量的矩或者中心矩都不具备的,这也是文中引出计算随机变量的各阶半不变量的原因。性质 1 如果n 个随机变量(1)x ,(2)x , ,( n)x 相互独立,且各自有k 阶半不变量(1)vg ,(2)vg , ,(n)vg ( v = 1, 2,L,k)存在,(t)x 为 n 个独立随机变量之和,有( t)(1)(2)(n)x = x+x+L +x,则随机变量(t)x 的v阶半不变量vg 等于各独立随机变量的v 阶半不变量之和[5],即:( 1)(2)(n)vvvvg = g+g+L +gv = 1, 2,L,k(8)性质 2 随机变量 y 是随机变量 x 的线性函数,y = ax+b,随机变量 x 的各阶半不变量为( x)vg( v = 1, 2,L,k),则随机变量 y的各阶半不变量( y)vg的计算式为[5]:gagbyx=+()1()1, 当 v =1时, (9)( )(x)vyvvg = ag, 当 v >1时 (10)正因为半不变量具有这 2 个重要的性质,半不变量的计算才变得非常简单。即可通过计算随机变量各个分量的半不变量来计算其各阶半不变量。为了将临界故障清除时间的概率分布和系统参数如母线负荷的概率特征联系起来,可以利用故障临界切除时间对系统参数的灵敏度来进行。临界故障清除时间灵敏度的求取可以用数值方法求取,也可以从数学方法上来计算。
考虑初始参数为母线负荷时,本文采用数值计算方法计算出故障临界切除时间crt 对母线负荷的偏导数cri  t /  P, i = 1, 2,L,n,其中 n 为考虑随机特性的母线负荷数。利用故障临界清除时间对系统参数的灵敏度,对临界故障切除时间进行线性化处理,则系统临界故障切除时间可表示为  =    ++    +  =+nncrcrcrcrcrPPtPPtPPtt tL22110()()110010 nnncrcrcrPPPtPPPtt       ++  + L (11)式中10P , ,n0P 分别为 n 个母线负荷的期望值;cr0t 为临界故障切除时间的期望值,即各母线负荷都取期望值时的临界故障切除时间;母线负荷1P , ,nP为随机变量;临界故障切除时间crt 则也为随机变量,它可以表示为母线负荷的线性函数。母线负荷的分布函数作为母线负荷预测的结果给定,其各阶半不变量可以计算出来。由性质1 和性质 2,则可计算出临界故障切除时间的各阶半不变量。根据式(2)和式(3),则临界故障切除时间的分布函数和密度函数可以很方便地计算出来。临界故障切除时间概率分布的计算过程为:(1)根据母线负荷预测结果计算各母线负荷的中心矩及半不变量。(2)由式(11)及性质1 和性质 2,计算临界故障清除时间的各阶半不变量kg 。(3)根据 Gram-Charlier 级数展开式系数kc 各阶半不变量与各阶中心矩的关系,由式(5)和式(6),计算各阶中心矩ku 与系数kc 。(4)由式(2)和式(3),计算故障临界清除时间crt的分布和密度。需要指出的是,利用临界故障切除时间对母线负荷的灵敏度来进行线性化处理,在一定范围内能取得很好的效果,但当iii0  P =P P相差较大时,利用临界故障切除时间的灵敏度进行线性化,对crt 的计算会产生一定的误差,这是该方法所固有的局限性。但从临界故障切除时间的分布概率计算算例中可看出,在一般情况下还是能取得很好的效果。4 算例分析本文以新英格兰 39节点系统为例对该算法进行了测试。新英格兰系统包括10 台发电机,39 个节点,12 台变压器,34 条线路。
系统单线图如图 1 所示。为了验证算法的可靠性,下面用两个算例进行说明。在每个算例中,考虑5 个母线负荷具有随机特性,并根据母线负荷预测结果给出了其分布特性。为了便于比较,在每个算例中,对母线负荷进行了7776次采样 , 对 临 界 故 障 清 除 时 间 的 概 率 分 布 进 行Monte-Carlo 仿真。在第一个故障中,母线2和母线 25 之间线路发生三相短路。为了说明问题,计算中随机选取母线25~29 上的负荷为考虑对象,其负荷分布具有随机特性,根据母线负荷预测结果,母线负荷偏差i  P的概率分布特征,见如表 1 所示;故障临界清除时间对母线负荷的灵敏度cri  t /  P如表 2 所示;临界故障切除时间crt 的各阶半不变量kg 及中心矩ku 如表 3 所示。为了验证算法的可靠性,本文将临界故障清除时间crt 概率分布的计算结果与 Monte-Carlo 仿真结果进行了比较,仿真计算中对每个负荷分别按平均分布进行采样,计算出了临界故障清除时间的实际概率分布。图 2 是 2 种方法计算出来的概率分布曲线的比较。从图中可以看出,用 Gram-Charlier 级数展开方法 求 解 临 界 故 障 切 除 时 间 的 概 率 分 布 与 用Monte-Carlo 仿真的结果基本一致。从计算量来看,用 Monte-Carlo 方法仿真需进行 7776 次采样,而每次采样需进行一次数值仿真计算,计算量庞大。而本文算法只需在计算临界故障切除时间的灵敏度时进行一次数值仿真,这样就减少了计算量,提高了计算速度。在第 2 个故障中,母线 1 和 2 之间的线路发生三相短路故障。考虑母线3、4、7、8、15 上的 5 个负荷具有随机特性,对母线负荷随机取样7776个点进行 Monte-Carlo 仿真,得到临界故障清除时间的概率分布,并与本文用 Gram-Charlier 级数展开方式求解得到的临界故障清除时间的概率分布相比较,结果如图 3 所示。
-0.05 0.05 0.05 0.15 t/s0.00.20.6概率分布Gram-CharlierMonte Carlo0.40.8图 3 临界故障清除时间的概率分布(故障 2)Fig. 3 Probability Distribution of Fault CCT (Fault 2)由这 2 个例子可以看出,本文提出的用Gram-Charlier 级数展开的方法能很快地计算出临界故障清除时间概率分布,和 Monte-Carlo 仿真结果相较,二者计算出来的概率分布是一致的,特别是在期望值附近误差更小。这样,在稳定分析中不能确定母线负荷的具体数值时,可预测每个母线负荷的概率分布,并计算在各母线负荷取期望值时的故障临界清除时间,然后利用本文算法就可很快地计算出临界故障清除时间的概率分布,从而可知临界故障清除时间会以多大的概率分布在期望值附近。5 结论在电力系统稳定分析中,由于某些原因,很可能不能够百分之百地确定电力系统参数的确定值。但根据母线负荷预测,往往能够确定母线负荷的一个大致分布范围。这样,在稳定分析中可以把母线负荷当成一个随机变量。在这种情况下,传统的确定性稳定分析方法已不能适应这种情况。本文提出了一种利用 Gram-Charlier 级数展开式求解故障临界清除时间概率分布的方法,并借助半不变量的一些性质及故障临界清除时间和母线负荷之间的关系,将对临界故障清除时间概率分布的求取转化为求其半不变量,进而转化为求母线负荷的半不变量的问题,并将算例结果和 Monte-Carlo 仿真结果进行了比较,结果表明:该算法的计算结果能很好的近似描述仿真结果,而且与Monte-Carlo 仿真相比,该算法不需要反复进行大量的数值仿真的采样计算,而只需在确定临界故障切除时间的灵敏度时进行一次数值仿真,因此显著地减少了计算量,提高了计算速度。这样可以根据故障后临界故障切除时间的概率分布,确定临界故障切除时间分布在期望值附近某区间内的概率,为稳定分析提供了判断的依据。
参考文献
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